خانه » مدلسازی ریاضی ساختار اقتصادی یک لیگ n تیمی

اقتصاد فوتبال

مدلسازی ریاضی ساختار اقتصادی یک لیگ n تیمی

نویسنده: استیو دابسون و جان گودار
مترجم: دانا حسنی
پنجشنبه ۴ اردیبهشت ۱۳۹۹

دانا حسنی
پنجشنبه ۴ اردیبهشت ۱۳۹۹

در شماره قبلی این سری، به خاستگاه آمریکایی مطالعه اقتصادی ورزش‌های تیمی حرفه‌ای و پیش‌فرض‌های ناشی از آن اشاره کردیم. همچنین در شماره قبلی، تا حدی به بررسی تفاوت‌های موجود در عرصه لیگ‌های ورزشی آمریکای شمالی و اروپا (به طور خاص فوتبال) پرداختیم. در این سری از مقالات اقتصاد فوتبال به معرفی یک مدل تخصیص منابع برای یک لیگ ورزشی (با n تیم عضو در آن) می‌پردازیم. در نسخه‌های بعدی نیز مدل ارائه شده در این نسخه برای ساده‌ترین حالت (لیگ دو تیمی) تحلیل می‌شود؛ همچنین تأثیرات قوانینی چون تشریک درآمدها و سقف دستمزد بر مدل نیز بررسی خواهد […]

در این مدل فرض بر این است که هر بازیکن میزان معینی از واحد استعداد بازی در اختیار دارد و بر حسب میزان استعداد بازی خود دستمزد دریافت می‌کند. تیم‌های عضو نیز در واقع به استخدام واحدهای استعداد بازی که در اختیار بازیکنان است می‌پردازند. در اصل هیچ محدودیتی برای میزان استعدادی که یک تیم می‌تواند به کار گیرد وجود ندارد. تیم‌های فوتبال در هر زمان تنها امکان بکارگیری 11 بازیکن را دارند؛ اما امکان بکارگیری استعداد بازی بالاتر از طریق استخدام بازیکنان بااستعدادتر همواره برای آنها وجود دارد. مطابق با همین امر، مدل برای آزمودن تصمیم مالک یک تیم در رابطه با تعداد واحدهای استعداد بازی استخدام و به کار گرفته شده، توسعه داده شده است.

[توضیح مترجم: شاید بتوان رویکرد این مدلسازی را مشابه با آنچه که در بازی‌های کامپیوتری انجام می‌شود دانست. در بازی‌هایی مانند فیفا و PES استعداد (توانایی) بازیکنان بر حسب اعداد اختصاص یافته به هر کدام سنجیده می‌شود. فرضا یک بازیکن اوورال 90 دارد و دیگری 70. هر تیم در هر لحظه 11 بازیکن در ترکیب خود دارد. هر یک از این بازیکنان حدی از استعداد در اختیار دارند. حال اگر بازیکن مستعدتری جای یکی از بازیکنان کنونی را در ترکیب 11 نفره بگیرد، مجموع استعداد موجود در ترکیب تیم زیاد می‌شود. همچنین دستمزدی که بازیکنان دریافت می‌کنند و هزینه خرید آنها از دیگر باشگاه‌ها نیز مستقیما در ارتباط با میزان استعداد آنها است. فرض شده است که بازیکنی با سطح استعداد 90 واحدی در قیاس با بازیکنی با سطح استعداد 70 واحدی، به همان نسبت اختلاف استعداد (در این جا 20 واحد)، دستمزد بیشتری دریافت می‌کند و هزینه خرید او نیز به همان نسبت بیشتر است. مدلسازی ریاضی ارائه شده در این جا، تصمیم مالک باشگاه در این زمینه که چه مقدار استعداد استخدام کند (و برای آن هزینه پرداخت کند) را بررسی می‌کند.]

پارامترهای مورد استفاده در مدل به شرح زیر است:

$t_i$ = استعداد استخدام و به کار گرفته شده توسط تیم i
$T$ = میزان مجموع استعداد استخدام شده توسط تمام تیم‌های عضو لیگ
$n$ = تعداد تیم‌های عضو لیگ
$\frac{T}{n} = \bar{t}$ = میانگین استعداد استخدام شده توسط تیم‌های عضو لیگ
$nt_i/T=t_i/\bar{t}=\tau _i$ = نسبت استعداد استخدام شده توسط تیم i به میانگین استعداد استخدام شده توسط تیم‌های عضو لیگ
$w_i$ = درصد یا نسبت پیروزی تیم i
$m_i$ = اندازه بازار تیم i
$c$ = هزینه به ازای هر واحد استعداد بازی
$R_i$ = مجموع درآمد تیم i
$MR_i$ = درآمد حاشیه‌ای تیم i
$AR_i$ = میانگین درآمد تیم i

بهتر است توسعه مدل را با ارائه یک عبارت کلی برای بررسی اثر تغییر $t_i$ بر $\bar{t}$ و $\tau_i$ شروع کنیم.

اولا:

$\bar{t} = T/n , T = t_1 + t_2 + ... + t_n$

[لیگ n تیم دارد. هر تیم نیز، بسته به ترکیب اصلی 11 نفره خود و سطح استعداد هر یک از این 11 بازیکن، میزان مشخصی استعداد بازی در اختیار دارد. t نماد همین مجموع استعداد ترکیب اصلی 11 نفره و اندیس i نشان‌دهنده تیم iام از میان n تیم حاضر در لیگ است. T معادل کل استعداد تیم‌های حاضر در لیگ است و از جمع سطح استعداد همه تیم‌های لیگ حاصل می‌شود. با تقسیم میزان کل استعداد موجود در لیگ بر تعداد تیم‌های لیگ نیز، میانگین استعداد برای هر یک از تیم‌ها به دست می‌آید.]

به این ترتیب، مشتق جزئی بر حسب $t_i$ به این شکل خواهد بود:

(1) $\partial \bar{t}/\partial t_i = (1/n)\left [ 1+\sum_{j\neq i}(\partial t_j/\partial t_i) \right ]$

[فرضا یک تیم در ترکیب اصلی 11 نفره خود بازیکنانی با سطح استعداد 66، 69، 72، 75 و … در اختیار دارد و مجموع این استعداد ها (t) برابر با 780 است. نویسنده می‌خواهد بداند اگر تیم مذکور یک بازیکن جدید در اختیار بگیرد و جایگزین یکی از بازیکنان کنونی ترکیب اصلی خود کند، به نحوی که میزان مجموع استعداد ترکیب 1 واحد افزایش یابد و معادل 781 بشود؛ آن گاه این افزایش چه تأثیری در میانگین استعداد ترکیب‌های اصلی همه تیم‌های لیگ ایجاد می‌کند. فرمول بالا این تأثیر را محاسبه می‌کند.]

و ثانیا:

$\tau _i = t_i/\bar{t}$

[فرمول بیانگر نسبت مجموع استعداد ترکیب اصلی تیم i به میانگین استعداد ترکیب‌های اصلی کل تیم‌های لیگ است.]

بنابراین مشتق جزئی بر حسب $t_i$ به این شکل خواهد بود:

(۲) $\partial \tau _i/\partial t_i=(-t_i/(\bar{t})^2)(\partial \bar{t}/\partial t_i)+1/\bar{t}=(1/(\bar{t})^2)\left [ \bar{t}-t_i(\partial \bar{t}/\partial t_i) \right ]$

[مشابه با مورد بالا، نویسنده در این جا می‌خواهد تأثیر یک واحد افزایش در مجموع استعداد ترکیب اصلی تیم بر نسبت استعداد موجود در ترکیب اصلی تیم به میانگین استعداد ترکیب‌های اصلی کل تیم‌های لیگ را بررسی کند و این فرمول همین میزان را به دست می‌دهد.]

بنا بر معادلات (1) و (2)، اثر تغییر $t_i$ بر $\tau_i$ وابسته به نتایج ناشی از تغییر برای (به ازای همه j ها و $j \neq i$ ) است. به عبارت دیگر، تأثیر ناشی از تغییر میزان استعداد استخدام شده توسط تیم i بر $\tau_i$ به نتایج ناشی از این تغییر برای میزان استعداد استخدام شده توسط دیگر تیم‌های عضو لیگ وابسته است.

[منظور نویسنده این است که فرضا یک تیم اقدام به استخدام یک بازیکن جدید می‌کند و با حضور این بازیکن در ترکیب اصلی، سطح استعداد موجود در ترکیب اصلی آن تیم از 780 به 781 افزایش می‌یابد. حال سایر تیم‌ها نیز بی‌کار نخواهند ماند و با توجه به این که تیم مذکور اقدام به استخدام یک بازیکن بهتر کرده و ترکیب خود را قوی‌تر کرده است، آنها هم اقدام به جذب بازیکنان جدید و بهبود ترکیب اصلی خود می‌کنند. بنابراین تأثیر افزایش استعداد ترکیب اصلی تیم i از 780 به 781 بر کل لیگ، به همین سادگی نیست و واکنش سایر تیم‌ها را نیز باید به حساب آورد.]

در مدل فرض می‌شود که درآمد تیم i به سه عامل وابسته است:

اندازه بازار تیم i ( $m_i$ )؛
[منظور تعداد تماشاچیان، بینندگان تلویزیونی و به طور کلی، مجموعه هواداران هر تیم است. پتانسیل بازار هر تیم (و میزان درآمدی که می‌تواند داشته باشد) با توجه به تعداد هوادارانش تعیین می‌شود.]
کیفیت کلی استانداردهای بازی در کل لیگ (که به وسیله $\bar{t}$ اندازه‌گیری می‌شود)؛
[برای مثال در لیگ انگلیس یا اسپانیا یا ایتالیا یا …، بازیکنان بهتری حضور دارند و سطح بازی‌های لیگ بالاتر از لیگ‌های کشورهای دیگر است. این مسئله در شکل ریاضی خود به این صورت بیان می‌شود که میانگین استعداد تیم‌های لیگ چه قدر است. فرضا (و برای مثال) در لیگ انگلیس میانگین استعداد ترکیب اصلی تیم‌های لیگ برابر با 825 واحد است. حال در لیگ پرتغال این میانگین فرضا برابر با 760 واحد است. این اختلاف 65 واحدی، بیانگر حضور بازیکنان بهتر (با سطح استعداد بالاتر) در لیگ انگلیس و بازی‌های باکیفیت‌تر در این لیگ است. همین مسئله نیز منجر به جذب تماشاچی و هوادار بیشتر و نهایتا درآمد بیشتر برای تیم‌های لیگ انگلیس می‌شود.]
کیفیت نسبی تیم i در قیاس با میانگین کیفیت کلیه تیم‌های عضو لیگ (که به وسیله $\tau _i$ اندازه‌گیری می‌شود).
[برای مثال در لیگ انگلیس سطح تیم‌ها نزدیک‌تر است (نسبت معرفی شده در مدل کمتر است)؛ در حالی که فرضا در اسپانیا اختلاف سطح رئال و بارسا با سایر تیم‌ها بسیار زیاد است. این مسئله صرفا از این جهت نیست که رئال و بارسا استعداد بیشتری در ترکیب اصلی خود در اختیار دارند؛ بلکه می‌تواند ناشی از این هم باشد که همه تیم‌ها در لیگ انگلیس سطوح نسبتا بالاتری از استعداد در ترکیب‌های اصلی خود دارند، در حالی که در اسپانیا اختلاف استعداد سایر تیم‌ها با رئال و بارسا بسیار بیشتر است (نسبت معرفی شده در مدل بالاتر است). همین نزدیکی بیشتر سطح استعداد تیم‌ها در لیگ انگلیس منجر به ایجاد درآمد بیشتر برای کل لیگ می‌شود. در طرف مقابل یکسانی کامل سطوح استعداد ترکیب‌های اصلی تیم‌ها (نسبت معرفی شده در مدل برابر با 1 باشد) خود منجر به نارضایتی طرفداران تیم‌های بزرگ و حضور کمتر آنها در ورزشگاه می‌شود؛ چرا که طرفداران اقبال بیشتری به یک تیم موفق دارند و این موفقیت با ترکیب اصلی بااستعدادتر حاصل می‌شود. بنابراین اگر نسبت مربوطه بیش از حد کم بشود و همه تیم‌ها به لحاظ کیفیت ترکیب خود یکسان بشوند، منجر به کاهش سهم درآمد تیم‌های بزرگ‌تر و نارضایتی هواداران آنها می‌شود.]

اولین عامل از میان این عوامل باعث می‌شود تا تیم‌هایی با پایگاه‌های هواداری در اندازه‌های متفاوت عضو لیگ باشند. این امر می‌تواند به علت جمعیت متفاوت شهرها و محله‌های فعالیت تیم‌ها یا اتفاقات و روندهای تاریخی دیگر باشد. عامل دوم باعث می‌شود تا تقاضای تماشای بازی‌های هر تیم وابسته به تعداد کل تیم‌های عضو لیگ باشد. عامل سوم نیز منجر به این مسئله می‌شود که تقاضای تماشای بازی‌های هر تیم وابسته به کیفیت نسبی آن تیم در قیاس با میانگین کیفیت لیگ باشد. تابع درآمد کلی تیم i به این شکل خواهد بود:

(3) $R_i = \eta m_i(\bar{t}-\theta (\bar{t})^2)(\tau _i-\xi \tau _i^2)$

[در تابع درآمد سه عبارت در یکدیگر ضرب شده و درآمد تیم i را شکل داده‌اند. عبارت اول بیانگر تعداد هواداران (پتانسیل بازار آن تیم) است. به این ترتیب هر چه تیمی پرطرفدارتر باشد، درآمد بیشتری نیز کسب می‌کند. در عبارت دوم به سطح میانگین استعداد موجود در همه تیم‌های لیگ اشاره می‌شود و متناظر با این مسئله است که هر چه بازیکنان بهتری (بااستعدادتری) در لیگ حضور داشته باشند (میانگین استعداد کل تیم‌های لیگ بالاتر برود)، سطح کیفیت لیگ بیشتر شده و طرفداران بیشتری جذب می‌کند و درآمد کل لیگ بیشتر می‌شود. عبارت سوم نیز در توضیح قبلی مورد اشاره قرار گرفت. در واقع برای یک تیم سطحی بهینه از استعداد در ترکیب اصلی وجود دارد که باعث می‌شود هم سطح تیم با میانگین لیگ اختلاف زیادی پیدا نکند و لیگ جذاب باقی بماند و هم تیم به لحاظ موفقیت ورزشی عملکرد خوبی داشته باشد و هوادارانش را راضی کند. با این حال باید توجه داشت که هدف مالک تیم بر درآمد مؤثر است. ممکن است مالک یک تیم تنها به دنبال موفقیت ورزشی تیم خود باشد و سطح استعداد ترکیب اصلی تیم را (به بهای کاهش درآمد و پرداخت هزینه برای استخدام بازیکنان) بسیار بالا ببرد؛ یا مالک به دنبال کسب سود مالی باشد و استعداد کمتری استخدام کند و هزینه کمتری بپردازد.]

حضور $\tau_i$ در تابع درآمد تیم i بیانگر این مسئله است که هواداران، یک تیم برنده را ترجیح می‌دهند و انتظار می‌رود زمانی که تیم موفق عمل می‌کند، هواداران حضور بیشتری در بازی‌های خانگی تیم داشته باشند. در ادبیات آکادمیک، معمول است که درصد یا نسبت پیروزی تیم i در بازی‌هایش در مقابل تیم j، بر اساس میزان نسبی استعداد استخدام شده توسط دو تیم سنجیده شود؛ به عبارت دیگر: $w_i=t_i/(t_i+t_j)$ . برای یک لیگ n تیمی، این روش منجر به ایجاد عبارتی پیچیده برای نسبت برد تیم i در تمام بازی‌هایش در لیگ می‌شود؛ به این شکل: $\sum_{j\neq i}\left [ t_i/(t_i+t_j) \right ]/(n-1)$ . حضور $\tau _i$ در معادله (3)، به جای $w_i$ ، کار با تابع درآمد را راحت‌تر می‌کند. برای یک لیگ دو تیمی داریم: $\tau _i = 2w_i$ ؛ و انتخاب میان $\tau _i$ و $w_i$ سطحی است و تنها بر شکل ظاهری پارامترهای شکل‌دهنده تابع درآمد تأثیرگذار است.

[نویسنده بیان می‌کند که برای اندازه‌گیری نسبت برد هر تیم در مقابل دیگر تیم‌ها از نسبت استعداد آن تیم به مجموع استعداد دو تیم استفاده می‌شود. در واقع برای اندازه‌گیری نسبت برد یک تیم در مقابل تیم دیگر، از داده تاریخی استفاده نمی‌کنند؛ بلکه سطح استعداد کنونی موجود در ترکیب اصلی دو تیم ملاک اندازه‌گیری قرار می‌گیرد.]

باید تأکید کنیم که تابع درآمد به کار گرفته شده در این جا منجر به ایجاد محدودیت‌هایی در رابطه با تعمیم‌پذیری مدل می‌شود. به طور خاص، پیش‌فرض یکسان بودن پارامترهای $\eta$ ، $\theta$ و $\xi$ برای همه تیم‌های عضو لیگ و در نظر گرفتن اندازه بازار به عنوان تنها عامل رقم‌زننده تفاوت میان تیم‌ها به لحاظ درآمد، ایجاد محدودیت می‌کند. با این حال، اگر محدودیتی از این دست پذیرفته نشود، حصول نتایج کلی و تعمیم‌پذیر از مدل در رابطه با تأثیرات اهداف مختلف مالکین تیم‌ها (کسب سود یا کسب عناوین قهرمانی) یا سیاست‌ها و قانون‌گذاری‌هایی چون تشریک درآمدها و سقف دستمزد بر نابرابری رقابتی، بسیار مشکل خواهد شد.

[پارامترهای لاتینی که نویسنده در پاراگراف بالا بیان کرده است، مقادیری ثابت و دلخواه اما مشابه برای همه تیم‌های لیگ است. این مقادیر به نحو متناسب با مدلسازی ریاضی لیگ مد نظر انتخاب می‌شود و جزئیات انتخاب مقدار برای آنها خارج از تمرکز این مقاله است.]

درآمد حاشیه‌ای تیم i به این صورت تعریف می‌شود: تأثیر ناشی از تغییر در $t_i$ بر درآمد کلی. به این ترتیب با مشتق‌گیری جزیی از معادله (3) بر حسب $t_i$ ، عبارتی کلی برای درآمد حاشیه‌ای تیم i حاصل می‌شود. میانگین درآمد تیم i همان میانگین درآمد حاصل شده از هر واحد استعداد استخدام شده توسط تیم i است. معادله‌ای کلی برای میانگین درآمد تیم i از تقسیم هر دو سوی معادله (3) بر $t_i$ حاصل می‌شود.

$MR_i = \eta m_i\left [ (1-2\theta \bar{t})(\tau _i-\xi \tau _i^2)(\partial \bar{t}/\partial t_i)+(\bar{t}-\theta (\bar{t})^2)(1-2\xi \tau _i)(\partial \tau _i/\partial t_i) \right ]$
(4) $AR_i = \eta m_i(\bar{t}-\theta (\bar{t})^2)(\tau _i-\xi \tau _i^2)/t_i$

[منظور نویسنده از درآمد حاشیه‌ای در این جا این است که به ازای هر یک واحد افزایش استعداد موجود در ترکیب اصلی تیم، درآمد کلی تیم چه میزان تغییر می‌کند. منظور از تغییر میانگین درآمد تیم هم این است که به ازای همین تغییر یک واحدی در استعداد موجود در ترکیب اصلی، میانگین درآمد تیم چه میزان تغییر می‌کند. فرضا تیم با استخدام بازیکن جدید، میزان استعداد کلی ترکیب اصلی خود را از 780 به 781 افزایش می‌دهد؛ به این ترتیب فرمول‌های بالا تأثیر این افزایش بر تعاریف اقتصادی درآمد تیم (درآمد حاشیه‌ای و میانگین درآمد) را محاسبه می‌کند.]

برای سادگی بیشتر، فرض می‌کنیم که هزینه کلی هر تیم خطی و وابسته به میزان استعدادی که استخدام می‌کند است و تیم‌ها متحمل هیچ هزینه ثابتی نمی‌شوند. این پیش‌فرض‌ها منجر به ایجاد توابع هزینه حاشیه‌ای و میانگین هزینه‌ای می‌شود که برای همه تیم‌ها ثابت بوده و برابر با قیمت هر واحد استعداد بازی در بازار است.

$C_i = ct_i$
(۵) $MC_i = AC_i = c$

[یعنی قیمت هر واحد استعداد در بازار نقل و انتقالات (چه به لحاظ دستمزد و چه به لحاظ هزینه خرید بازیکن از تیم دیگر) ثابت است. البته در واقعیت چنین نیست اما برای ساده‌سازی مدل ریاضی نویسنده چنین فرضی ارائه کرده است. به این ترتیب، هزینه حاشیه‌ای و میانگین هزینه هر تیم تنها بر اساس میزان استعدادهایی که در ترکیب اصلی خود استخدام کرده است تعیین می‌شود.]

در بیشتر گونه‌های مدل تئوریک، تخصیص نهایی استعدادهای بازی میان تیم‌های عضو لیگ عموما وابسته به هدف مالکین تیم‌ها است. دو گزینه جایگزین وجود دارد: بیشینه کردن سود و بیشینه کردن درصد پیروزی به شرط باقی نگاه داشتن سود در سطح صفر.

مورد دوم معمولا به اختصار بیشینه کردن درصد پیروزی نیز خوانده می‌شود. به طور خاص، در مورد فوتبال اروپا، در مقالات عنوان شده است که تابع هدف دوم (بیشینه کردن درصد پیروزی) با واقعیت همخوانی بیشتری دارد.

مدل بسته n تیمی

در یک مدل بسته، تغییر در میزان استعداد استخدام شده توسط تیم i به طور مستقیم در میزان استعداد استخدام شده توسط دیگر تیم‌ها تأثیرگذار است؛ چرا که میزان کلی استعداد بازی در دسترس تیم‌ها ثابت فرض می‌شود. برای سادگی بیشتر و بدون وارد شدن خدشه‌ای به تعمیم‌پذیری مدل، واحدهای اندازه‌گیری استعداد بازی را می‌توان نرمالیزه کرد؛ به شکلی که: $T=1$ و $\bar{t} = 1/n$ . معادلات (1) و (2) این نتایج را به دست می‌دهد:

(6) $\sum_{j\neq i}(\partial t_j/\partial t_i)=-1\;\;\;\;\;\partial \bar{t}/\partial t_i=0\;\;\;\;\;\partial \tau _i/\partial t_i=1/\bar{t}=n/T=n$

[مدل بسته یعنی این که بازار نقل و انتقال بازیکن‌ها بین‌المللی نیست و داخلی است. این نوع مدل بیشتر متناسب با لیگ‌های ورزشی آمریکا است. در لیگ‌هایی مانند NFL، MLB و تا حد کمتری NBA معمولا بازیکنان تنها از بازار داخلی استخدام می‌شوند و استخدام بازیکنان از کشورهای دیگر بسیار کمتر است؛ در حالی که در فوتبال بازار استخدام بازیکنان (به خصوص در لیگ‌های طراز اول اروپایی) جهانی است. در واقع در مدل‌های بسته بازار سطح محدودی از بازیکن ارائه می‌کند و بیشتر از بازیکنان موجود، قابلیت عرضه بازیکن ندارد (حجم کل بازیکنان در دسترس ثابت است)؛ چرا که بازار داخلی است. در فرمول‌های بالا نیز نویسنده میزان کل استعداد ترکیب‌های اصلی تیم‌های لیگ را برابر 1 قرار داده و سپس بقیه فاکتورها را با همین نسبت دوباره محاسبه کرده است. معادله اول بیان می‌کند که به ازای تغییر یک واحدی در استعداد ترکیب اصلی تیم i، ترکیب اصلی تیم j تغییری معادل -1 می‌کند. دلیل این مسئله این است که کل بازیکنان (استعداد) در دسترس در بازار داخلی مقدار ثابتی است و با استخدام یک بازیکن توسط تیم i، از بازیکنان (استعدادهای) در دسترس سایر تیم‌ها یک واحد کم می‌شود. معادله دوم نیز بیان می‌کند که به ازای تغییر یک واحدی در استعداد موجود در ترکیب اصلی تیم، میانگین استعداد ترکیب‌های اصلی کل تیم‌های لیگ تغییری نمی‌کند؛ چرا که فرض شده است سایر تیم‌ها واکنشی به استخدام بازیکن جدید توسط تیم i نشان نمی‌دهند.]

با استفاده از عبارات موجود در بند (6)، معادلات درآمد کلی، درآمد حاشیه‌ای و میانگین درآمد حاضر در بندهای (3) و (4) را می‌توان به عنوان توابعی از $m_i$ ، $t_i$ و $\tau _i$ ( $\tau _i=nt_i$ ) بازنویسی کرد:

$R_i = \eta m_i\left [ (1/n)-(\theta /n^2) \right ](\tau _i-\xi \tau _i^2)$
$MR_i = \eta m_in\left [ (1/n)-(\theta /n^2) \right ](1-2\xi \tau _i)$
(7) $AR_i = \eta m_i\left [ (1/n)-(\theta /n^2) \right ](\tau _i-\xi \tau _i^2)/t_i$

بدون وجود یک بازار بیرونی برای استعدادهای بازی، فرضی منطقی است که دستمزد به ازای هر واحد استعداد بازی به شکل درونی (در داخل مدل) و بر اساس کل تقاضای تیم‌های عضو لیگ برای استعداد بازی تعیین گردد. دستمزد به ازای هر واحد استعداد به نحوی تنظیم می‌گردد که هر تیم بتواند به میزان تمایل خود، در آن سطح دستمزد، استعداد استخدام کند و همچنین، کل استعداد ثابت موجود توسط تیم‌های عضو لیگ به کار گرفته می‌شود.

برای بیشینه کردن سود در مدل بسته، هر تیم تا نقطه‌ای به استخدام استعداد می‌پردازد که درآمد حاشیه‌ای ایجاد شده توسط آخرین واحد استعداد با هزینه حاشیه‌ای ناشی از استخدام آن واحد برابر گردد؛ به عبارت دیگر $MR_i = MC_i$ . برای بیشینه کردن درصد پیروزی در مدل بسته، هر تیم تا نقطه‌ای به استخدام استعداد می‌پردازد که شرط سود صفر به دست آید؛ یا $AR_i = AC_i$ . هر کدام از این شرایط منجر به ایجاد یک دستگاه معادلات خطی n تایی در می‌شود. این معادلات، به همراه شرط افزوده $T=\sum t_j=1$ ، می‌تواند برای به دست آوردن راه‌حل و کسب پاسخ برای و (تحت هر دو پیش‌فرض بیشینه کردن سود یا بیشینه کردن درصد پیروزی) به کار رود.

[روش حل معادلات اهمیتی برای خواننده عادی نخواهد داشت. به طور کلی نویسنده در ابتدا فرمول‌هایی ریاضی برای محاسبه هزینه و درآمد هر تیم برای استخدام استعدادهای بازی (در قالب بازیکنان) ایجاد کرده است و بعد اشاره می‌کند که بسته به هدف مالک تیم، جواب بهینه ناشی از این معادلات می‌تواند متفاوت باشد. در شرایطی که مالک بخواهد سودش را بیشینه کند، او تا جایی به استخدام استعدادها می‌پردازد که درآمد ناشی از استخدام 1 واحد استعداد بیشتری با هزینه آن یکسان شود؛ چرا که پس از این نقطه، با استخدام یک واحد استعداد بیشتر هزینه آن از درآمد به دست آمده بیشتر شده و سود کاهش می‌یابد. اما در شرایطی که مالک بخواهد موفقیت ورزشی تیم (درصد کسب پیروزی) را بیشینه کند، این قدر به استخدام استعدادها (بازیکنان) می‌پردازد تا سود تیم به کل صفر شود. در این شرایط تیم هر مقدار درآمد دارد صرف دستمزد و هزینه خرید استعدادها کرده است و ترکیب اصلی خود را تا بهترین حد ممکن بهبود داده است. حال با توجه به هر یک از این دو هدف، بر اساس معادلاتی که فراهم شده است، بر اساس ادعای نویسنده می‌توان میزان استعداد، درآمد و هزینه هر تیم را محاسبه و تعیین کرد.]

مدل باز n تیمی

در یک مدل باز (با این پیش‌فرض که تیم‌ها بتوانند مستقلانه در رابطه با استخدام استعدادهای بازی تصمیم‌گیری کنند)، تغییر در میزان استعداد استخدام شده توسط یک تیم اثر مستقیمی در میزان استعداد استخدام شده توسط دیگر تیم‌ها ندارد؛ مگر در حالتی که تیم‌ها تصمیمات خود در رابطه با میزان استخدام استعداد را در واکنش به تغییر در تصمیمات دیگر تیم‌ها بگیرند. معادلات (1) و (2) این نتایج را به دست می‌دهد:

$\sum_{j\neq i}(\partial t_j/\partial t_i)=0\;\;\;\;\;\;\;\partial \bar{t}/\partial t_i=1/n$
(8) $\partial \tau _i/\partial t_i=(1/(\bar{t})^2)(\bar{t}-t_i/n)=(n^2/T^2)\left [ (T-t_i)/n \right ]=n\sum_{j\neq i}t_j/T^2$

[در یک مدل باز، بازار خرید و استخدام بازیکنان بین‌المللی است و به این ترتیب، تعداد استعدادها (بازیکنان) در دسترس بی‌نهایت در نظر گرفته می‌شود. در این شرایط، بر خلاف حالت قبلی که استخدام یک بازیکن جدید توسط تیم i منجر به کاهش استعدادهای در دسترس تیم‌های دیگر می‌شد، این استخدام استعداد اثری بر روی دیگر تیم‌ها ندارد؛ چرا که بازاری بسیار بزرگ در دسترس آنها برای بهبود ترکیب‌های اصلی خودشان است.]

در یک مدل باز، استعداد بازی از یک بازار بین‌المللی خریده می‌شود و برای سادگی بیشتر، فرض می‌شود که قیمت خرید هر واحد استعداد بر اساس فعل و انفعال عرضه و تقاضا در بازار بین‌المللی تعیین می‌گردد. از این رو، دستمزد به ازای هر واحد استعداد (از منظر تیم‌هایی که در این بازار به خرید استعداد می‌پردازند) از پیش تعیین شده است؛ یا به طور بیرونی (خارج از مدل) تعیین می‌شود. کشش[1] عرضه استعداد بر حسب دستمزد، در مدل باز بی‌نهایت و در مدل بسته صفر است. توابع عرضه مختلف میان این دو حالت افراطی توسط سیرن[2] (2009) و فورت و وینفری[3] (2009) بررسی شده است.

کل استعداد استخدام شده توسط تیم‌های عضو یک لیگ در مدل باز متغیر است و عرضه استعداد نیز کششی بی‌نهایت دارد. هنگامی که یک تیم استعداد بیشتری در اختیار می‌گیرد، تأثیر مستقیمی در استعداد استخدام شده توسط دیگر تیم‌ها نمی‌گذارد. فرض بر این است که مالکین تیم‌ها (در هر دو حالت بیشینه کردن سود یا درصد پیروزی) تصمیمات خود در رابطه با میزان استخدام استعدادهای بازی را بر اساس این پیش‌فرض اتخاذ می‌کنند که تیم‌های دیگر، سطح کنونی استعداد استخدام شده خود را تغییر نمی‌دهند. به عبارت دیگر، هر مالک، تصمیمات استخدامی خود را بر اساس این پیش‌فرض می‌گیرد که مالکین دیگر تیم‌ها به تصمیم او واکنش نشان نداده و میزان استعداد در اختیار خود را بر حسب آن تنظیم نمی‌کنند.این پیش‌فرض تحت عنوان پیش‌فرض عدم وجود تغییرات حدس و گمانی[4] شناخته می‌شود. این شرایط منجر به شکل‌گیری تعادل نش[5] می‌شود؛ در این وضعیت، هر مالک به میزانی که منجر به بیشینه شدن تابع هدف خودش می‌شود، استعداد استخدام می‌کند و در عین حال، میزان استعداد استخدام شده توسط رقبای تیم خود را ثابت و خارج از کنترل خود در نظر می‌گیرد.

در مدل بیشینه کردن سود، هر تیم به استخدام میزانی از استعداد می‌پردازد که سودش را بیشینه می‌کند؛ با این شرط که میزان استعداد استخدام شده توسط تیم‌های دیگر (که سود آنها را بیشینه می‌کند)، بدون تغییر و در سطح کنونی خود باقی بماند. از آن جایی که هر تیم سود خودش را بیشینه می‌کند، میزان‌های استخدام استعداد تیم‌ها متقابلا سازگار است. تعادل پایدار است؛ مگر این که (به هر علتی) یک یا تعداد بیشتری از تیم‌ها تصمیم به کنار گذاشتن پیش‌فرض عدم وجود تغییرات حدس و گمانی بگیرند (تصمیمات خود را بر اساس حدس و گمان خود از تغییرات میزان استعداد استخدامی دیگر تیم‌ها بگیرند). اقتصاددانان معمولا از اصطلاح “تعادل نش” برای اشاره به یک تعادل بیشینه کردن سود (از نوع فوق‌الذکر) استفاده می‌کنند. اما برای مدل بیشینه کردن درصد پیروزی نیز، نظیری برای تعادل نش وجود دارد. هر تیم میزان استعدادی که درصد پیروزیش را بیشینه می‌کند (تحت شرط سود صفر) انتخاب می‌کند؛ به این شرط که میزان استعداد استخدام شده توسط تیم‌های دیگر (که درصد پیروزی آنها را بیشینه می‌کند)، بدون تغییر و در سطح کنونی خود باقی بماند.

با استفاده از عبارات موجود در بند (8)، معادلات مربوط به درآمد کل، درآمد حاشیه‌ای و میانگین درآمد در بندهای (3) و (4) را می‌توان به ترتیب زیر بر حسب $m_i$ ، $T$ ، $t_i$ ، $t_j$ (برای $j\neq i$ ) و $\tau _i$ ( $\tau _i=nt_i/T$ ) بازنویسی کرد:

$R_i = \eta m_i\left [ (1/n)T-(\theta /n^2)T^2 \right ](\tau _i-\xi \tau _i^2)$
$MR_i=\eta m_i\left \{ \left [ (1/n)-(2\theta /n^2)T \right ](\tau _i-\xi \tau _i^2)+n\left [ (1/n)T-(\theta /n^2)T^2 \right ](1-2\xi \tau _i)\sum_{j\neq i}t_j/T \right \}$
(9) $AR_i = \eta m_i\left [ (1/n)T-(\theta /n^2)T^2 \right ](\tau _i-\xi \tau _i^2)/t_i$

برای بیشینه کردن سود، هر تیم تا نقطه‌ای که درآمد حاشیه‌ای ناشی از استخدام آخرین واحد استعداد با هزینه حاشیه‌ای ناشی از استخدام آن واحد برابر شود، به استخدام استعدادهای بازی می‌پردازد؛ یا $MR_i=MC_i$ . این شرایط منجر به ایجاد دستگاهی از n معادله غیرخطی چندمجهولی در $t_i$ می‌شود. پاسخ این دستگاه معادلات همان پاسخ تعادل نش برای مدل بیشینه کردن سود است. برای بیشینه کردن درصد پیروزی، هر تیم تا نقطه‌ای که شرط سود صفر حاصل شود، به استخدام استعدادهای بازی می‌پردازد؛ به عبارت دیگر $AR_i=AC_i$ . در این شرایط یک دستگاه معادلات چندمجهولی در $t_i$ به دست می‌آید؛ که می‌توان با حل آن به نظیر پاسخ تعادل نش برای مدل بیشینه کردن درصد پیروزی رسید.

[در این جا نیز روش حل معادلات مهم نیست. چیزی که شایان توجه خواننده عادی است این است که نویسنده به طور کلی معادلاتی ریاضی برای محاسبه درآمد و هزینه تیم‌ها فراهم آورده است. سپس نویسنده بیان می‌کند که بسته به هدف مالک هر تیم (این که بخواهد تیمش موفقیت ورزشی بیشتری کسب کند یا این که سود مالی بیشتری به دست آورد)، تصمیمات او در راستای استخدام استعدادهای بازی (بازیکنان) تفاوت خواهد داشت. اگر مالک به دنبال موفقیت ورزشی تیمش باشد، سود را نادیده می‌گیرد و تا حدی که ضرر مالی ایجاد نشود اقدام به بهتر کردن ترکیب اصلی تیم و استخدام بازیکنان می‌کند. در طرف مقابل، اگر او سود مالی را ملاک خود قرار دهد، با توجه به این که استخدام بازیکنان بااستعدادتر و کسب نتایج بهتر در بازی‌ها، منجر به کسب درآمد بیشتر برای تیم می‌شود، تنها تا جایی به بهبود ترکیب اصلی تیم خود می‌پردازد که درآمد ناشی از آن بیشتر از هزینه استخدام بازیکن جدید باشد. به طور خلاصه، نهایتا نویسنده بیان می‌کند که با پذیرش برخی پیش‌فرض‌های ساده‌کننده، می‌توان از معادلات ریاضی فراهم شده استفاده کرد تا بسته به هدف اصلی مالک هر تیم، میزان استعداد بهینه‌ای که آن تیم باید استخدام کند و درآمد و هزینه ناشی از آن را محاسبه کرد. به بیان دیگر، این عبارت تا حدی رفتار مالکان تیم‌ها و تصمیمات آنها را با زبان ریاضی نشان می‌دهد و البته امکان برنامه‌ریزی و همچنین پیشبینی رفتارهای آتی مالکان تیم‌ها را به نوعی فراهم می‌آورد.]

[1] Elasticity

[2] Cyrenne

[3] Winfree

[4] Zero Conjectural Variations

[5] Nash Equilibrium

اقتصاد فوتبال

مدلسازی ریاضی ساختار اقتصادی یک لیگ n تیمی

دیدگاهتان را بنویسید لغو پاسخ

باشگاه دانشجویان فوتبال